a) Lauseke ( |(x-2)(x+3)| ) kun ( x > 2 )

        |(x - 2)(x + 3)| = (x - 2)(x + 3)
        = x² + 3x - 2x - 6
        = x² + x - 6
        

Selitys: Koska x > 2, molemmat osat x - 2 > 0 ja x + 3 > 0. Itseisarvo voidaan poistaa, ja lauseke laajennetaan ja yksinkertaistetaan.

b) Lauseke ( |(x-2)(x+3)| ) kun ( x < -3 )

        |(x - 2)(x + 3)| = |-(x - 2)(-(x + 3))|
        = (-(x - 2))(-(x + 3))
        = (x - 2)(x + 3)
        = x² + 3x - 2x - 6
        = x² + x - 6
        

Selitys: Koska x < -3, molemmat osat x - 2 < 0 ja x + 3 < 0. Itseisarvo kirjoitetaan uudelleen negatiiviseksi, ja lauseke laajennetaan ja yksinkertaistetaan.

c) Lauseke ( |(x-2)(x+3)| ) kun ( -3 < x < 2 )

        |(x - 2)(x + 3)| = |-(x - 2)(x + 3)|
        = (-(x - 2))(x + 3)
        = -(x² + 3x - 2x - 6)
        = -x² - x + 6
        

Selitys: Koska -3 < x < 2, niin x - 2 < 0 ja x + 3 > 0. Itseisarvo poistetaan negatiivisen lausekkeen avulla, ja lauseke laajennetaan ja yksinkertaistetaan.

Sievennä lauseke

    |x² + 6x + 9| / |x + 3|, kun x > -3
    

Ratkaisu:

Alkuperäinen Lauseke:
∣(x² + 6x + 9)∣ / ∣(x + 3)∣

Lasketaan x² + 6x + 9:
Huomaamme, että x² + 6x + 9 on täydellinen neliö, ja se voidaan kirjoittaa muotoon:
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Korvataan alkuperäinen lauseke:
Joten
∣x² + 6x + 9∣ = ∣(x + 3)²∣

Koska (x + 3)² on aina positiivinen (tai nolla), niin itseisarvo voidaan poistaa:
∣(x + 3)²∣ = (x + 3)²

Syötetään lausekkeeseen:
Nyt saamme:
∣(x + 3)²∣ / ∣(x + 3)∣ = (x + 3)² / ∣(x + 3)∣

Poistetaan itseisarvo:
Koska x > -3, niin x + 3 > 0, joten ∣x + 3∣ = x + 3:
=(x + 3)² / (x + 3)

Yksinkertaistetaan lauseke:
Tämä yksinkertaistuu edelleen, kun x + 3 ≠ 0:
= x + 3

Yhteenveto:
Kun x > -3, lauseke ∣x² + 6x + 9∣ / ∣x + 3∣ sievenee muotoon:
x + 3

b) Sievennä lauseke

    |x² + 6x + 9| / |x + 3|, kun x < -3
    

Ratkaisu:

Alkuperäinen Lauseke:
∣(x² + 6x + 9)∣ / ∣(x + 3)∣

Huomioimme, että:
Koska x < -3, niin x + 3 < 0. Tämä tarkoittaa, että itseisarvo voidaan poistaa negatiivisena:
∣x + 3∣ = -(x + 3)

Lasketaan x² + 6x + 9:
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Korvataan alkuperäinen lauseke:
∣(x + 3)²∣ / ∣(x + 3∣ = (x + 3)² / (-(x + 3))

Poistetaan itseisarvo:
= -((x + 3)² / (x + 3))

Yksinkertaistetaan:
= -(x + 3) (kun x + 3 ≠ 0)

Lopputulos:
= -x - 3